The Nature of Infinity - and Beyond

Pengantar Georg Cantor dan surga tak terbatasnya

Georg Cantor (kiri) dan publikasi legendaris 1874-nya “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” dalam Jurnal untuk Reine und Angewandte Mathematik (1874).

Georg Cantor menunjukkan corak artistik yang nyata sebagai seorang anak dan dilaporkan pemain biola yang luar biasa. Nama keluarganya 'Cantor' dalam bahasa latin berarti 'penyanyi' atau 'musisi'. Ketika ia pada tahun 1867 - pada usia 22 - menyelesaikan tesis doktoralnya di Universitas Berlin, ia menamainya Dalam matematikanya ars propendi pluris facienda est quam solvendi yang dalam bahasa Inggris berbunyi “Dalam matematika, seni mengajukan pertanyaan lebih berharga dari memecahkan masalah ”. Di kemudian hari dikenal sebagai pemikir yang sangat dalam, Cantor akan tumbuh menjadi orang yang berani bertanya dan menjawab salah satu pertanyaan paling mendasar dan paling mendasar:

Seberapa besar infinity?

Dipikirkan secara umum tidak dapat dijawab, Cantor pada tahun 1870-an, 80-an dan 90-an memperkenalkan ide-ide baru yang radikal tentang jawaban atas pertanyaan ini yang menetapkan teori himpunan sebagai cabang baru matematika murni. Artikel ini berharap dapat memperkenalkan Anda pada karyanya yang paling terkenal, dan implikasinya.

Kehidupan awal (1845–1969)

Georg Cantor dalam arti beruntung bisa dilahirkan ketika dia berada di Saint Petersburg pada tanggal 3 Maret 1845. Orang tuanya adalah orang Denmark. Ibunya, Marie (nama keluarga Meyer) berasal dari keluarga musisi asal Rusia dan ayahnya Georg Woldemar adalah seorang pengusaha yang sangat sukses, pertama sebagai agen grosir di St. Petersburg, dan kemudian sebagai broker di pasar saham kota.

Ayah dan ibu Cantor, G.W. dan Marie Cantor

Cantor sangat dipengaruhi oleh ayahnya, seorang lelaki yang memiliki minat budaya dan filosofis besar yang sepanjang sekolah dan universitas putranya akan memberinya nasihat yang bermakna tentang kehidupan dan kariernya. Namun, oleh beberapa akun, meskipun mengakui kemampuan matematika putranya masih akan berusaha keras untuk memaksa putranya ke bidang teknik sebagai profesi yang lebih menjanjikan daripada matematika.

Pendidikan (1860-69)

Nilai Cantor pada usia 8 tahun, ketika ia menghadiri St.Petri-Schule untuk orang-orang berbahasa Jerman di St.Petersburg.

Karier sekolah Cantor seperti halnya banyak ahli matematika yang sangat berbakat - pengakuan awal atas bakatnya (sebelum usia lima belas) dan minat yang kuat dalam studinya. Pada awal di Saint Petersburg, Cantor menerima pelajaran les privat. Di Jerman, ia pertama kali menghadiri sekolah swasta di Frankfurt di sekolah non-klasik Darmstadt, sebelum memasuki Gimnasium Wiesbaden pada tahun 1860. Ia lulus dengan perbedaan dari Realschule di Darmstadt, dan pada tahun 1862 memulai studinya di universitas di Höheren Gewerbschule di mana ia belajar teknik untuk dua orang. tahun sebelum pindah ke Politeknik Federal Swiss (ETH Zurich) untuk mengejar matematika. Menyusul kematian ayahnya karena TBC tahun berikutnya, ia menerima warisan substansial (setengah juta tanda) dan mengalihkan studinya ke Universitas Berlin.

Universitas Humboldt Berlin pada tahun 1850 (saat itu Universitas Friedrich Wilhelm)

Di Berlin Cantor menghadiri kuliah oleh Ernst Kummer, Leopold Kronecker dan Karl Weierstrass, yang minatnya pada aritmatika memberikan pengaruh yang kuat pada pekerjaannya yang paling awal. Pada tahun 1866, ia menghabiskan semester musim panas di Universitas Göttingen, pada waktu itu ibukota pemikiran matematika di dunia. Kedua disertasinya "De aequationibus secundi gradus indeterminatis" pada 1867 dan habilitasi "De transforme formarum ternariarum quadraticarum" pada 1869 dianggap teori bilangan, khususnya masalah luar biasa yang tersisa dari Gauss 'Disquisitiones Arithmeticae mengenai solusi untuk persamaan diophantine yang tidak pasti ax² + by² + cz² = 0, juga dikenal sebagai persamaan Legendre.

Georg Cantor sekitar tahun 1870

Meskipun dipuji sebagai docta et ingeniosa ("terpelajar dan pintar") "disertasinya yang sangat klasik", usianya yang tidak tahan tidak memberi petunjuk khusus tentang kejeniusan yang akan datang. Dia lulus ujian lisan magna cum laude. Setelah menerima gelar Ph.D. dia meninggalkan Berlin untuk mengambil posisi sebagai Privatdozent (dosen yang hidup dari biaya yang dapat dia kumpulkan dari mahasiswanya) di Halle University, menggantikan temannya K.H.A. Schwartz (yang pergi ke Zurich) dan dengan asumsi bekerja di bawah Eduard Heine, profesor matematika di sana.

Karier awal (1870–1873)

Beberapa orang berpendapat bahwa pendahulunya dari karya inovatif Cantor yang belakangan dapat ditelusuri hingga ke publikasi pasca-sarjana paling awal. Bahkan, dalam penelitian Cantor mengabdikan teori seri trigonometri, orang memang dapat menemukan jejak minat awal dalam "kontinum". Mengikuti pengaruh kedua Weierstrass di Berlin dan Heine di Halle, makalah pertama Cantor Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz ("Pada teorema tentang seri trigonometri") diselesaikan untuk dipublikasikan pada bulan Maret 1870 dan diposisikan untuk "memajukan pemahaman tentang sifat konvergensi dari representasi fungsi yang diberikan secara sewenang-wenang melalui seri trigonometrik tak terbatas ”. Mulai dari seri trigonometri dan pengerjaan fungsi dari variabel kompleks yang dilakukan oleh Riemann, Cantor dalam makalah menunjukkan teorema berikut:

Teorema Keunikan Cantor (1870): Setiap fungsi f: ℝ → ℝ dapat memiliki paling banyak satu representasi oleh deret trigonometri.

Jika fungsi f (x) diwakili oleh deret trigonometri yang konvergen untuk semua x, maka representasi itu unik. Pada tahun 1871, ia memperkuat hasilnya, membuktikan bahwa keunikan tetap berlaku bahkan jika seri berbeda pada sejumlah titik dalam interval tertentu. Hasil ini adalah yang sebelumnya dicoba oleh banyak pemikir besar pada saat itu, termasuk Heine, Peter Dirichlet dan Bernhard Riemann, yang sejauh ini hanya mampu menunjukkan bahwa itu bertahan dalam keadaan terbatas tertentu.

Makalah berikutnya, yang diterbitkan pada tahun 1872, memperpanjang hasilnya lebih jauh. Makalah ini, Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trignometrischen Reihen ("Tentang generalisasi teorema dari teori deret trigonometri") memberikan definisi titik batas dari set-titik P menjadi setiap titik sedemikian rupa sehingga setiap titik lingkungan dari titik tersebut mengandung banyak titik P. Derivatif pertama P (ditunjuk P ') adalah himpunan semua titik batas P, turunan kedua P' 'adalah himpunan semua titik batas P', dan sebagainya di. Definisi ini meletakkan dasar untuk topologi set-point, kemudian diperluas khususnya oleh Felix Hausdorff, Émile Borel dan Maurice René Fréchet. Cantor menggunakan definisi tersebut untuk meningkatkan teorema keunikannya, dengan menunjukkan bahwa teorema itu berlaku bahkan jika deret trigonometri menyimpang pada jumlah titik yang tak terbatas, asalkan setel poin berurutan terbatas (titik-set P berurutan terbatas jika , untuk beberapa bilangan bulat n, turunan ke-P⁽ⁿ⁾ dari P adalah himpunan berhingga).

Dilihat dalam retrospeksi, makalah ini menghubungkan pekerjaan awal Cantor dalam analisis dengan apa yang sekarang dianggap sebagai pekerjaannya yang paling penting dalam studi set-set transfinite, misalnya dalam fokusnya pada set titik infinite dan definisi bilangan real yang ia sediakan:

Definisi pelayan dari bilangan real ℝ (1872): Bilangan real adalah serangkaian bilangan rasional tak terhingga:
a₁, a₂, ..., aᵤ, ..
sedemikian rupa sehingga untuk setiap ε yang diberikan terdapat u₁ sedemikian rupa sehingga untuk u ≥ u₁ dan untuk bilangan bulat positif v, | aᵤ₊ᵥ - aᵤ | <ε.

Dalam makalah, Cantor membahas definisi ini dan membandingkannya dengan yang sebelumnya diberikan oleh mantan mentornya dan saat ini, Weierstrass di Berlin dan Heine di Halle. Hasilnya ditambahkan ke pekerjaan sebelumnya dan cukup untuk mempromosikan Cantor menjadi außerorderntlicher Professor (associate professor) di Halle University pada tahun 1872.

Korespondensi dengan Richard Dedekind (1872–1873)

Kemudian pada tahun yang sama, Cantor bertemu Richard Dedekind untuk pertama kalinya, yang pada saat itu adalah profesor matematika di Technische Hochschule di Brunswick. Dedekind sebelumnya menerbitkan sebuah makalah yang menyediakan analisis aksiomatik dari struktur himpunan bilangan real ℝ. Definisinya adalah bilangan real sebagai bidang yang lengkap dan teratur. Cantor dan Dedekind bertukar surat selama bertahun-tahun. Bagian matematika dari surat-surat mereka kemudian diterbitkan oleh Noether dan Cavailleès (1937) dan sekarang disimpan di University of Evansville di Indiana.

Pada tanggal 29 November 1873 Cantor mengirim surat kepada Dedekind yang menanyakan apakah kumpulan bilangan asli dan kumpulan bilangan real positif "dapat dikaitkan sehingga setiap individu dari satu koleksi sesuai dengan satu dan hanya satu individu dari yang lain?" Dedekind menjawab dengan menulis bahwa dia tidak tahu jawabannya, tetapi menambahkan bahwa pertanyaannya tidak banyak menarik secara praktis. Pada titik ini, tampaknya Cantor setuju dengan pendapat ini, menyatakan bahwa ketertarikannya pada masalah tersebut terkait dengan teorema Joseph Liouville 1844 yang membuktikan keberadaan bilangan transendental:

Halle, 2 Desember 1873
Saya sangat senang menerima jawaban Anda atas surat terakhir saya. Saya mengajukan pertanyaan kepada Anda karena saya sudah bertanya-tanya tentang hal itu sudah beberapa tahun yang lalu, dan tidak pernah yakin apakah kesulitan yang saya temukan adalah subjektif atau apakah itu melekat dalam subjek. Karena Anda menulis bahwa Anda juga tidak dapat menjawabnya, saya dapat menganggap yang terakhir. Selain itu, saya ingin menambahkan bahwa saya tidak pernah serius menyibukkan diri dengan itu, karena tidak ada minat praktis khusus untuk saya. Dan saya sepenuhnya setuju dengan Anda ketika Anda mengatakan bahwa untuk alasan ini tidak pantas banyak usaha. Tetapi akan lebih baik jika itu bisa dijawab; misalnya jika itu dapat dijawab tanpa, maka orang akan memiliki bukti baru dari teorema Liouville bahwa ada bilangan transendental.
- G. Cantor

Dari surat Cantor berikutnya beberapa hari kemudian, namun tampak jelas bahwa ketertarikannya pada topik tersebut tidak secepat yang dia ungkapkan kepada Dedekind, meskipun dia saat ini tidak menguraikan implikasi penting yang khusus:

Halle, 7 Desember 1873
"..Di hari-hari terakhir aku punya waktu untuk mengejar lebih jauh dugaan yang kuceritakan kepadamu; hanya hari ini aku percaya diriku telah selesai dengan hal itu; tetapi jika aku menipu diriku sendiri, aku pasti tidak menemukan hakim yang lebih memanjakan daripada Anda. "

Dalam surat itu, Cantor selanjutnya melanjutkan dengan draf pertama bukti mengapa bilangan real tidak dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli. Tidak dua hari kemudian, ia mengirimkan Dedekind bukti yang direvisi dan lebih sederhana, bersama dengan permintaan maafnya karena telah menghabiskan waktunya dengan masalah ini:

Halle, 9 Desember 1873
Saya telah menemukan bukti teorema yang disederhanakan yang baru saja dibuktikan, sehingga dekomposisi urutan menjadi (1), (2), (3), ... tidak lagi diperlukan. Saya menunjukkan langsung bahwa jika saya memulai dengan urutan
(i) ω₁, ω₂, ..., ωᵤ,
maka dalam setiap interval yang diberikan (α ... β) saya dapat menentukan angka η yang tidak terkandung dalam (i). Dari sini dapat disimpulkan bahwa totalitas (x) tidak dapat dikorelasikan satu-ke-satu dengan totalitas (u); dan saya menyimpulkan bahwa ada perbedaan mendasar antara totalitas dan nilai-nilai yang sampai saat ini belum dapat saya pahami.
Sekarang saya harus meminta maaf kepada Anda karena telah mengambil banyak waktu Anda dengan pertanyaan ini. Mengonfirmasi penerimaan garis persahabatan Anda pada 8 Desember, izinkan saya meyakinkan Anda bahwa tidak ada yang dapat memberi saya lebih banyak kesenangan daripada cukup beruntung untuk membangkitkan minat Anda pada pertanyaan analisis tertentu.
- G. Cantor

Catatan Dedekind dari periode tersebut memperjelas kronologi peristiwa:

Brunswick, 7 Desember 1873
Cantor mengomunikasikan kepada saya bukti yang kuat, yang ditemukan pada hari yang sama, dari teorema bahwa totalitas semua angka positif ω <1 tidak dapat dihubungkan satu-satu dengan totalitas (n).
Saya menjawab surat ini, diterima pada tanggal 8 Desember, pada hari yang sama dengan selamat atas keberhasilan yang baik. Pada saat yang sama, saya mengutarakan lebih sederhana lagi inti dari buktinya (yang masih cukup rumit).
- Richard Dedekind

Tetapkan Teori

Digambarkan oleh Stanford Encyclopaedia of Philosophy sebagai "salah satu pencapaian terbesar matematika modern", teori himpunan secara luas diakui telah didirikan oleh makalah yang dihasilkan dari karya yang dilakukan Cantor pada periode 1873–1884. Secara khusus, asal-usul teori himpunan ditelusuri kembali ke kertas tunggal yang diterbitkan pada tahun 1874 oleh Cantor, berjudul Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, ("Pada Properti Koleksi Semua Bilangan Algebra Nyata)". Hasil mendasar dan paling konsekuensial yang dihadirkannya adalah tidak terhitungnya bilangan real, dan sebagai konsekuensinya, penemuan perbedaan antara bilangan yang termasuk "kontinum" dan yang termasuk "kumpulan seperti totalitas bilangan aljabar nyata" . Makalah ini muncul di Journal für die reine und angewandte Mathematik ("Jurnal Crelle") tepat sebelum Cantor berusia 30 tahun. Ketika ia menulis kepada Dedekind sekitar dua minggu setelah sampai di buktinya:

Berlin, 25 Desember 1873
"..Meski aku belum ingin menerbitkan subjek yang baru-baru ini aku bahas pertama kali denganmu, aku secara tak terduga telah menyebabkan hal itu terjadi. Aku mengkomunikasikan hasil penelitianku kepada Herr Weierstrass pada tanggal 22; namun, tidak ada waktu untuk pergi ke rincian; sudah pada 23d saya mendapat kesenangan dari kunjungannya, di mana saya bisa mengkomunikasikan bukti kepadanya. Dia berpendapat bahwa saya harus menerbitkan hal itu setidaknya sejauh menyangkut aljabar Jadi saya menulis sebuah makalah pendek dengan judul: Pada properti himpunan semua angka aljabar nyata dan mengirimkannya ke Profesor Borchardt untuk dipertimbangkan untuk Journal Fur Math.
Seperti yang akan Anda lihat, komentar Anda (yang sangat saya hargai) dan cara Anda menyampaikan beberapa poin sangat membantu saya. "
- G. Cantor

Dalam lima halaman pendek, makalah Cantor menyajikan tiga hasil penting:

  1. Himpunan bilangan aljabar nyata dapat dihitung; dan
  2. Dalam setiap interval [a, b] ada banyak sekali angka yang tidak termasuk dalam urutan apa pun; dan sebagai konsekuensinya
  3. Himpunan bilangan real tidak terhingga banyaknya;

Sisa artikel ini dikhususkan untuk menjelaskan implikasi hasil ketiga, pada tak terhitungnya bilangan real. Untuk ini, kita mulai dengan beberapa konsep dasar.

Apa itu satu set?

"Satu set adalah Banyak yang memungkinkan dirinya untuk dianggap sebagai Satu" - Georg Cantor

Satu set adalah kumpulan elemen. Set yang terdiri dari angka 3,4 dan 5 dilambangkan dengan {3, 4, 5}. Untuk perangkat yang lebih besar dan demi kesederhanaan, elipsis sering digunakan jika pembaca dapat dengan mudah menebak elemen apa yang hilang. Definisi asli Cantor tentang "agregat" (set), diterjemahkan, menjadi sebagai berikut:

Definisi Cantor tentang Set
Dengan satu set kita harus memahami setiap koleksi menjadi seluruh M objek yang pasti dan terpisah m dari intuisi kita atau pikiran kita. Objek-objek ini disebut "elemen" dari M.

Countability

Himpunan yang dapat dihitung adalah himpunan dengan kardinalitas yang sama (jumlah elemen) seperti beberapa himpunan bagian dari himpunan bilangan alami.

Properti kemampuan menghitung adalah penting dalam teori himpunan. Interpretasi intuitif tentang kemampuan menghitung adalah “kemampuan mendengarkan”, bahwa unsur-unsur suatu himpunan dapat dituliskan dalam suatu daftar. Himpunan yang paling dapat dihitung secara inheren adalah bilangan alami in, di mana unsur-unsur ℕ adalah bilangan penghitungan itu sendiri (1,2,3, ...). Seperti yang kita ketahui, jumlahnya tidak terbatas, dan oleh karenanya disebut “tak terhingga tak terhitung”, atau “dapat dinomori”. Untuk set lainnya, secara formal, dengan menyatakan bahwa set dapat dihitung satu berarti elemen-elemen set dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan elemen-elemen dari set bilangan asli ℕ, yaitu bahwa:

Set yang bisa dihitung
Himpunan S dapat dihitung jika ada fungsi injeksi f dari S ke bilangan asli ℕ = {1,2,3, ...}. Jika f seperti itu dapat ditemukan yang juga bersifat surjektif (dan karenanya bijektif), maka S disebut himpunan tak terhingga yang dapat dihitung, atau didenumerasikan.
Misalnya, untuk himpunan bilangan genap (2n | n ∈ ℕ):
    2 4 6 8 10 ... 2n
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    1 2 3 4 5 ... n
Kita melihat bahwa unsur-unsur dari dua set dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan yang lainnya, dan dengan demikian kita dapat menentukan bahwa himpunan bilangan genap juga dapat dihitung.

Properti countability memungkinkan untuk membandingkan set dalam hal jumlah elemen yang dikandungnya tanpa benar-benar menghitung apa pun, dan dengan cara ini membuat kesimpulan tentang ukuran relatif dari kedua set terbatas dan tak terbatas. Untuk alasan praktis, mari kita ilustrasikan kasus yang terbatas dengan membayangkan ruang kelas dengan 100 kursi. Dipenuhi dengan siswa, orang dapat membuat kesimpulan tentang ukuran set siswa dalam kaitannya dengan ukuran set kursi. Jika kursi kosong, set kursi lebih besar dari set siswa. Jika tidak ada kursi yang kosong dan beberapa siswa berdiri, ukuran himpunan siswa lebih besar daripada kursi, dan sebagainya.

The Countability of Rational Numbers (1873)

Investigasi pertama yang dipublikasikan Cantor mengenai kemungkinan set terjadi pada tahun 1873 ketika ia membuktikan bahwa bilangan rasional ℚ (fraksi / rasio) dapat dihitung. Buktinya yang agak elegan dan intuitif adalah sebagai berikut:

Bukti kemampuan menghitung angka-angka Rasional ℚ
Mari kita usulkan bahwa himpunan bilangan rasional ℚ dapat dihitung. Untuk membuktikan pernyataan ini, mari kita susun semua bilangan rasional (rasio bilangan alami) dalam tabel tak terbatas sebagai berikut:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
... ... ... ... ...
Selanjutnya, mulai dari sudut kiri atas, bergerak melalui diagonal dari kiri ke kanan pada 45 derajat, dimulai dengan 1/1, kemudian 1/2 dan 2/1, kemudian 3/1, 2/2 dan 1/3 dan seterusnya di. Tuliskan setiap nomor baru yang Anda temui. Anda akan mendapatkan pemesanan berikut:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, ...
 1 2 3 4 5 ...
Yang bukan hanya urutan yang baik, tetapi juga dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli dalam tatanan alami mereka. Ini membuktikan kemampuan menghitung bilangan rasional ℚ.

Hitungan Bilangan Aljabar Nyata (1874)

Setahun kemudian, dalam makalahnya tahun 1884, Cantor menunjukkan bahwa bilangan aljabar nyata dapat dihitung. Bilangan aljabar nyata adalah bilangan real ω yang memenuhi persamaan bentuk: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ + ... + aᵤ = 0. Artinya, bilangan aljabar nyata adalah akar dari polinomial nyata yang bukan nol. Mereka dapat dihitung, yaitu:

Hitungan Angka Bilangan Aljabar Nyata
Pengumpulan semua aljabar real dapat ditulis sebagai urutan yang tak terbatas.

Cantor menunjukkannya di makalahnya tahun 1874 dengan bukti berikut:

Bukti Terhitung Angka Bilangan Aljabar Nyata (1874)
Untuk setiap persamaan polinomial dari formulir

   aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ + ... + aᵤ = 0
dengan koefisien bilangan bulat a, tentukan indeksnya menjadi jumlah dari nilai absolut koefisien ditambah derajat persamaan:
| aₒ | + | a₁ | + ... + | aᵤ |
Satu-satunya persamaan indeks 2 adalah ω = 0, jadi solusinya, 0, adalah bilangan aljabar pertama. Keempat persamaan indeks 3 adalah 2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0, dan x2 = 0. Mereka memiliki akar 0, -1, 1, jadi ia memasukkan nilai baru –1 dan 1 sebagai entri kedua dan ketiga dalam daftar nomor aljabar.
Perhatikan bahwa untuk setiap indeks hanya ada banyak persamaan dan bahwa setiap persamaan hanya memiliki banyak akar. Daftar akar baru dengan urutan indeks dan dengan meningkatkan besarnya dalam setiap indeks, satu menetapkan metode sistematis untuk daftar semua angka aljabar. Seperti halnya dengan rasional, korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli membuktikan bahwa himpunan bilangan aljabar harus tak terhingga jumlahnya.

The Uncountability of Real Numbers (1874)

Penggunaan akuntabilitas Cantor yang paling berhasil sebagai sebuah konsep terjadi pada hasil ketiga dari makalahnya pada tahun 1874 ketika ia mendemonstrasikan ketidakberhitungan bilangan real - set pertama terbukti tidak memiliki properti ini. Bilangan real ℝ adalah nilai kuantitas kontinu yang dapat mewakili jarak di sepanjang garis. Setiap bilangan real dapat ditentukan oleh representasi desimal yang mungkin tak terbatas, seperti misalnya mis. 8,632, 0,00001, 10,1 dan seterusnya, di mana setiap digit berturut-turut diukur dalam satuan sepersepuluh ukuran dari yang sebelumnya. Pernyataan bahwa bilangan real tidak terhitung sama dengan pernyataan:

The Uncountability of Real Numbers
Diberikan urutan bilangan real dan interval apa pun [α ... β], seseorang dapat menentukan angka η dalam [α ... β] yang tidak termasuk dalam urutan. Oleh karena itu, seseorang dapat menentukan banyak angka seperti η dalam [α ... β].

Seperti yang kita lihat dari pertukaran suratnya dengan Dedekind pada tahun 1873, kita tahu bagaimana Cantor bekerja menuju hasil yang sangat penting. Bukti aslinya (Bukti Kehilangan Pertama Cantor) adalah sebagai berikut, dan didasarkan pada teorema Bolzano-Weierstrass:

Bukti Tidak Terhitungnya bilangan real ℝ (1874)
Misalkan kita memiliki urutan bilangan real yang tak terbatas,
(i) ω₁, ω₂, ... ωᵥ, ...
di mana urutan dihasilkan sesuai dengan hukum dan jumlahnya berbeda satu sama lain. Kemudian dalam setiap interval yang diberikan (α ... β) angka η (dan akibatnya banyak sekali angka-angka seperti itu) dapat ditentukan sedemikian sehingga tidak terjadi dalam deret (i).
Untuk membuktikan ini, kita pergi ke akhir interval [α ... β], yang telah diberikan kepada kita secara sewenang-wenang dan di mana α <β. Dua angka pertama dari urutan kami (i) yang terletak di bagian dalam interval ini (dengan pengecualian batas), dapat ditetapkan dengan α ', β', membiarkan α '<<β'. Demikian pula, mari kita tentukan dua angka pertama dari urutan kita yang terletak di bagian dalam (α '... β') oleh α ", β" dan biarkan α "<β". Dengan cara yang sama, buat interval berikutnya, dan seterusnya.
Oleh karena itu, di sini, α ', α "... secara definisi menentukan jumlah urutan kami (i), yang indeksnya terus meningkat. Hal yang sama berlaku untuk urutan β', β", ...; Lebih lanjut, angka α ', α "... selalu bertambah besar, sedangkan angka β', β", ... selalu berkurang ukurannya. Dari interval [α ... β], [α '... β'], [α "... β"], .... masing-masing melingkupi semua yang mengikuti. Di sini, hanya dua kasus yang dapat dipikirkan.
Dalam kasus pertama, jumlah interval yang dibentuk terbatas. Dalam hal ini, biarkan yang terakhir adalah (αᵛ ... βᵛ). Karena bagian dalamnya dapat paling banyak satu urutan (i), angka η dapat dipilih dari interval ini yang tidak terdapat dalam (i), dengan demikian membuktikan teorema.
Dalam kasus kedua, jumlah interval yang dibangun tidak terbatas. Kemudian, karena mereka selalu bertambah dalam ukuran tanpa tumbuh menjadi tak terbatas, angka α, α ', α ", ... memiliki nilai batas penentu αʷ. Hal yang sama berlaku untuk angka β, β', β",. .. karena ukurannya selalu menurun. Biarkan nilai batasnya menjadi βʷ. Jika αʷ = βʷ, maka seseorang dengan mudah membujuk diri sendiri, jika seseorang hanya melihat kembali ke definisi interval bahwa angka η = αʷ = βʷ tidak dapat dimasukkan dalam urutan kami (i). Namun, jika αʷ <βʷ, maka setiap angka η di bagian dalam interval [αʷ ... βʷ] serta batas-batasnya memenuhi persyaratan bahwa ia tidak terdapat dalam urutan (i).

Argumen Diagonal Cantor (1891)

Cantor tujuh belas tahun kemudian memberikan bukti yang lebih sederhana dengan menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai argumen diagonal Cantor, pertama kali diterbitkan dalam makalah 1891 berjudul Über eine elementere Frage der Mannigfaltigkeitslehre ("Pada pertanyaan mendasar dari Manifold Theory"). Saya memasukkannya di sini untuk keanggunan dan kesederhanaannya. Secara umum, argumen yang sekarang terkenal adalah sebagai berikut:

Bukti: Argumen diagonal penyanyi (1891)
Dalam makalahnya, Cantor mempertimbangkan himpunan M dari semua urutan tak terbatas dari bilangan biner m dan w. Urutan seperti:
E₁ = (m, m, m, m, m, ...),
E₂ = (b, b, b, b, b, ...),
E₃ = (m, w, m, w, m, ...),
E₄ = (b, b, b, b, b, ...),
E₅ = (m, m, w, w, m, ...)
Cantor menegaskan bahwa ada himpunan M yang tidak memiliki "nafas" dari seri E₁, E₂, E₃…, yang berarti M memiliki ukuran yang berbeda dari jumlah setiap urutan En, yaitu bahwa meskipun M dibangun dari semua urutan tak terbatas dari bilangan biner m dan w, ia selalu dapat membuat urutan E₀ baru yang “keduanya merupakan elemen M dan bukan merupakan elemen M.”
Urutan baru E₀ dibangun menggunakan pelengkap satu digit dari setiap urutan E₁, E₂,… En. Suatu komplemen dari bilangan biner didefinisikan sebagai nilai yang diperoleh dengan membalik bit dalam representasi bilangan (bertukar m untuk w dan sebaliknya visa). Jadi, urutan baru terdiri dari komplemen digit pertama dari urutan E₁ (m), komplemen digit kedua dari urutan E₂ (w), komplemen dari digit ketiga dari urutan E₃ (m) dan seterusnya untuk akhirnya pelengkap digit ke-n dari urutan En. Dari contoh urutan di atas, urutan baru E₀ akan menjadi:
E₀ = (b, b, b, b, b, ...)
Dengan konstruksinya, E₀ berbeda dari setiap urutan En karena digit nnya berbeda. Oleh karena itu, E₀ tidak bisa menjadi salah satu urutan tak terbatas dalam himpunan M.

Diterapkan untuk membuktikan ketidakberhitungan bilangan real ℝ:

Bukti Tidak Terhitungnya bilangan real ℝ
Bukti ini adalah dengan kontradiksi, yaitu kita akan menganggap bahwa bilangan real ℝ dapat dihitung dan mendapatkan kontradiksi. Jika real dapat dihitung, maka mereka dapat dicantumkan:
1. 657.853260 ...
2. 2.313333 ...
3. 3.141592 ...
4. .000307 ...
5. 49.494949 ...
6. .873257 ...
...
Untuk mendapatkan kontradiksi, cukup untuk menunjukkan bahwa ada beberapa α nyata yang hilang dari daftar. Konstruksi α seperti itu bekerja dengan membuat tempat desimal pertama berbeda dari tempat desimal pertama dari nomor pertama daftar, dengan membuat tempat desimal kedua berbeda dari tempat desimal kedua dari angka kedua, dan secara umum dengan membuat n angka desimal berbeda dari angka n desimal angka n pada daftar.
Lebih sederhana lagi, untuk α kita, kita akan membuat tempat desimal ke-1 1 kecuali sudah 1, dalam hal ini kita akan membuatnya 2. Dengan proses ini, untuk contoh daftar angka kita, kita memperoleh:
α = .122111 ...
Yang, dengan konstruksi tidak dapat menjadi anggota daftar yang kami buat. Jadi, dengan kontradiksi, daftar semua real kami tidak dapat berisi setiap angka, dan karenanya harus tak terhitung.

Kesimpulan kedua bukti (1874 dan 1891) adalah sama - meskipun bilangan asli dan bilangan real tidak terbatas jumlahnya dan terus berlangsung selamanya, ada bilangan alami “tidak cukup” untuk membuat satu-ke-satu korespondensi antara mereka dan bilangan real. Penemuan brilian Cantor, dengan kata lain, menunjukkan dengan ketat bahwa infinity memiliki ukuran yang berbeda, beberapa di antaranya lebih besar dari yang lain.

Ada lebih banyak bilangan real daripada bilangan asli.

Dari korespondensi Cantor dengan Dedekind sekitar waktu pengajuan bukti asli pada tahun 1874, tampak jelas bahwa dia sudah dalam proses merenungkan implikasi khusus dari hasil ini, meskipun dari catatan yang diketahui dia tampaknya tidak secara eksplisit menyatakan begitu untuk Dedekind. Namun kita melihat jejak pikirannya yang kreatif dan bertanya dalam surat-suratnya dari waktu yang sama, seperti dalam kutipan dari Januari 1874 tentang ukuran set dimensi yang berbeda:

Halle, 5 Januari 1874
"..Dapat sebuah permukaan (katakanlah bujur sangkar yang mencakup batas) secara unik disebut garis (katakanlah segmen garis lurus yang mencakup titik akhir) sehingga untuk setiap titik pada permukaan ada titik yang sesuai dari garis dan , sebaliknya, untuk setiap titik dari garis ada titik yang sesuai dari permukaan? Sepertinya bagi saya saat ini jawaban untuk pertanyaan ini sangat sulit - walaupun di sini juga ada yang terdorong untuk mengatakan tidak bahwa orang mau untuk menahan buktinya menjadi hampir berlebihan. "
- G. Cantor

Ketika Dedekind tidak membalas proposisi secara langsung, Cantor mengulangi pertanyaan beberapa minggu kemudian, menunjukkan kesadarannya akan implikasi yang bermakna yang dimilikinya:

Halle, 28 Januari 1874
"..Ketika Anda sempat menjawab saya, saya harus bersyukur mendengar apakah Anda memiliki kesulitan yang sama dengan saya dalam menjawab pertanyaan yang saya kirimkan kepada Anda pada bulan Januari tentang korelasi garis dan permukaan, atau apakah saya menipu sendiri di Berlin, seorang teman yang saya tunjukkan masalah yang sama mengatakan kepada saya bahwa subjeknya agak tidak masuk akal, karena jelas bahwa dua variabel independen tidak dapat direduksi menjadi satu. "
- G. Cantor

Dari apa yang dapat kita simpulkan dari catatan-catatan yang diketahui, itu akan memakan waktu tiga tahun sampai Dedekind dan Cantor berbicara lagi tentang masalah ini. Dari surat-suratnya, jelas bahwa kecanggihan Cantor pada topik korespondensi satu-ke-satu antara perangkat tak terbatas pada saat ini telah berkembang, dan bahwa pemahamannya tentang implikasinya pada tahun 1877 berjalan jauh lebih dalam daripada sebelumnya:

Halle, 20 Juni 1877
"..Aku ingin tahu apakah kamu mempertimbangkan prosedur inferensi yang aku gunakan untuk menjadi aritmetika yang ketat.
Masalahnya adalah untuk menunjukkan bahwa permukaan, benda, bahkan struktur kontinu dimensi p dapat dikorelasikan satu-ke-satu dengan garis kontinu, yaitu dengan struktur hanya satu dimensi — sehingga permukaan, benda, bahkan struktur kontinu dimensi p memiliki kekuatan yang sama dengan kurva. Gagasan ini tampaknya bertentangan dengan ide yang sangat lazim di antara para perwakilan geometri modern, yang berbicara tentang tak terbatas, dua kali lipat, tiga kali lipat,. . . ρ lipat struktur tanpa batas. (Kadang-kadang Anda bahkan menemukan gagasan bahwa tak terhingga titik-titik suatu permukaan atau benda diperoleh ketika ia mengkuadratkan atau memotong-motong tak terbatas titik-titik suatu garis.) "
- G. Cantor

Set yang tak terbatas

“Saya memprotes penggunaan besaran tak terhingga sebagai sesuatu yang diselesaikan, yang tidak pernah diizinkan dalam matematika. Infinity hanyalah cara berbicara ”.
- C. F. Gauss, 1831

Elemen-elemen dari semua set yang kami temui sejauh ini jumlahnya tidak terbatas, yang berarti mereka berlangsung selamanya. Namun, kami juga telah menunjukkan bahwa salah satu dari mereka tidak memiliki "ukuran" yang sama, atau setidaknya, bahwa itu tidak dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli. Mungkin bahkan lebih paradoks, kita telah melihat bahwa himpunan bagian yang tak terbatas (misalnya bilangan genap) dari himpunan tak terbatas (bilangan alami) dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu, sehingga menimbulkan sifat khusus set yang tak terbatas, yaitu bahwa:

Definisi himpunan tak terbatas
Himpunan A tidak terbatas jika, dan hanya jika, ada korespondensi satu-ke-satu antara A dan himpunan X yang merupakan himpunan bagian yang tepat dari A.

Properti ini, diciptakan oleh Dedekind, tampaknya paradoks mengingat gagasan intuitif bahwa harus selalu ada lebih banyak elemen secara keseluruhan daripada di beberapa bagiannya (apa yang disebut Euclid Common Notion 5). Ini berarti bahwa jika dua himpunan tak terbatas berisi jumlah elemen yang sama ketika ada:

  1. Korespondensi satu-ke-satu di antara mereka; dan
  2. Ukuran keseluruhan mana pun harus lebih besar dari pada bagian-bagiannya;

Maka jumlah elemen dalam himpunan tak terbatas tidak dapat dianggap sebagai ukuran ukurannya. Ini menunjukkan bahwa unsur-unsur himpunan tak terbatas dalam arti "tanpa angka", mengingat bahwa Anda tidak pernah bisa menghitung semuanya, tetapi juga karena gagasan angka sebagai ukuran ukuran di bidang ini tidak masuk akal - Semua tak terbatas set tampaknya keluar dengan ukuran yang sama jika korespondensi satu-ke-satu diambil sebagai indikasi kesamaan dalam hal ukuran set.

Nomor kardinal

Jadi, bagaimana seseorang mempelajari sifat-sifat dan perbedaan-perbedaan set yang tak terbatas? Setelah penemuannya pada tahun 1874 tentang keberadaan perangkat-perangkat tak terbatas yang tidak dapat dinomori, pada tahun 1878 Cantor beralih ke studi yang lebih umum tentang apa yang disebutnya kekuatan, atau angka-angka utama - studi tentang ukuran set. Kardinalitas himpunan A biasanya dilambangkan dengan | A |, kadang-kadang kartu (A).

Definisi Cantor tentang Nomor Kardinal
Kita akan memanggil dengan nama 'kekuatan' atau 'nomor kardinal' dari M konsep umum yang, melalui sarana pemikiran aktif kita, muncul dari himpunan M ketika kita membuat abstraksi dari sifat berbagai elemen m dan dari urutan di mana mereka diberikan.

Atau dinyatakan lebih sederhana, nomor kardinal adalah generalisasi dari nomor alami yang digunakan untuk mengukur kardinalitas (ukuran) set. Dengan menggunakan properti kardinalitas, Cantor dapat secara formal menjawab pertanyaan yang berulang kali dia tanyakan kepada Dedekind, yaitu apakah kotak dapat dipetakan ke garis dengan korespondensi satu-ke-satu dari poin pada masing-masing, yaitu:

Teorema: Himpunan ℝ² dari semua pasangan bilangan real (yaitu, bidang nyata) memiliki ukuran yang sama dengan ℝ.

Teorema tersebut muncul dari makalah Cantor pada tahun 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre ("Kontribusi terhadap bermacam-macam teori") dan dapat dibuktikan secara elegan dengan cara berikut / modern (dikaitkan dengan Julius König):

Bukti itu | ℝ² | = | ℝ |
Cukuplah untuk membuktikan bahwa himpunan semua pasangan (x, y), 0 
x = 0,3 01 2 007 08 ...
y = 0,009 2 05 1 0008 ...
Perhatikan bahwa digit x dan y telah dipisahkan menjadi grup dengan selalu menuju ke digit bukan nol berikutnya, inklusif. Sekarang kita kaitkan dengan (x, y) angka z ∈ (0,1) dengan menuliskan kelompok-x pertama, setelah itu kelompok-y pertama, kemudian kelompok-x kedua, dan seterusnya. contoh, kami memperoleh:
z = 0,3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ...
Karena x atau y tidak hanya menampilkan nol dari titik tertentu, kami menemukan bahwa ekspresi untuk z lagi-lagi merupakan ekspansi desimal non-terminasi. Sebaliknya, dari perluasan z, kita dapat segera membaca preimage (x, y) dan peta bersifat bijektif.

Jadi, sekali lagi secara paradoks, bidang dua dimensi ℝ² memang dapat dipetakan secara bijektif (dengan korespondensi satu-ke-satu) ke garis satu dimensi ℝ. Secara induktif, kita dapat memperluas hasilnya ke dimensi yang lebih tinggi. Sifatnya yang berlawanan dengan intuisi membuat Cantor mengumumkan:

Halle, 29 Juni 1877
"..Mohon permisi semangat saya untuk subjek jika saya membuat begitu banyak permintaan atas kebaikan dan kesabaran Anda; komunikasi yang saya kirim akhir-akhir ini bahkan untuk saya begitu tak terduga, begitu baru, sehingga saya tidak dapat memiliki ketenangan pikiran sampai saya memperoleh dari Anda, teman terhormat, keputusan tentang kebenaran mereka. Selama Anda belum setuju dengan saya, saya hanya bisa mengatakan: je le vois, mais je ne le crois pas. "
"Aku melihatnya, tapi aku tidak percaya itu".

Nomor kardinal yang tak terbatas

Ketika Cantor pada tahun 1878 kemudian beralih untuk mempelajari angka-angka kardinal yang tak terbatas, dia sudah mengetahui keberadaan dua "kekuatan" (Mächtigkeiten) seperti itu: set-set (mis. Bilangan asli) dan kontinum (mis. Bilangan real). Dalam makalahnya tahun 1883 berjudul Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Yayasan Teori Umum Manifold") ia memperkenalkan perbedaan antara dua infinitas, yang tak terbatas dan yang absolut:

Angka-angka transfinit adalah angka-angka yang "tak terbatas" dalam arti bahwa mereka lebih besar dari semua angka yang terbatas, namun belum tentu mutlak tak terbatas.

Inf Infinite absolute, juga diperkenalkan oleh Cantor, dapat dianggap sebagai angka yang lebih besar daripada kuantitas yang dapat dibayangkan atau tidak terbayangkan, baik terbatas atau transfinite. Angka transfinit semakin besar, sedangkan yang absolut tidak dapat disembuhkan. Angka-angka tak terbatas tertentu yang ada dalam benaknya adalah angka-angka yang dia sadari melalui studinya tentang kemampuan menghitung dari beberapa himpunan yang tak terbatas (mis. Bilangan alami) dan jumlah yang tak terhitung dari himpunan lainnya (misalnya angka sebenarnya). Dia memberi label kardinalitas mereka ℵ₀ (aleph tidak ada) dan ℵ₁ (alef satu), masing-masing, dua "urutan tak terhingga" pertama, keduanya lebih kecil dari tak terbatas absolut Ω.

Hipotesis Continuum (1878)

Tidak ada bilangan kardinal tak terbatas di antara kardinalitas bilangan asli ℵ₀ dan kardinalitas bilangan real ℵ₁.

Tidak ada pengantar Cantor akan lengkap tanpa membahas hipotesis terkenal yang telah selamanya dikaitkan dengan pekerjaan hidupnya, Hipotesis Kontinum Cantor (CH). Banyak dari karyanya tentang dugaan itu diterbitkan dalam risalah enam bagian Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten ("Pada titik-titik tak terhingga, linier yang beragam") dalam jurnal Mathematische Annalen antara 1879 dan 1884.

Georg Cantor (kiri) dan risalah enam bagiannya Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten dalam jurnal Mathematische Annalen.

Namun penampilan pertamanya, muncul dalam makalah tahun 1878 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre ("Sebuah kontribusi untuk banyak teori"), di mana ia menyatakan:

Timbul pertanyaan bagaimana bagian-bagian berbeda dari garis lurus kontinu, yaitu bermacam-macam titik tak terbatas yang dapat dipahami di dalamnya, dihubungkan sehubungan dengan kekuatan mereka.
Mari kita selesaikan masalah kedok geometris ini, dan pahami dengan bermacam-macam linier dari bilangan real, setiap totalitas yang mungkin dari banyak bilangan real yang berbeda. Kemudian muncul pertanyaan, ke dalam berapa banyak dan kelas mana manifold jatuh, jika manifold dari kekuatan yang sama ditempatkan ke dalam kelas yang sama, dan manifold dari kekuatan yang berbeda ke dalam kelas yang berbeda?
Dengan prosedur induktif, yang presentasi yang lebih tepat tidak akan diberikan di sini, teorema ini menyarankan bahwa jumlah kelas manifold linier yang menimbulkan prinsip sortasi ini terbatas, dan memang, sama dengan dua.

Kita tahu angka kardinal 0, 1, 2,. . . dan bilangan kardinal tak terhingga ℵ₀, dan lebih jauh bahwa kardinalitas bilangan real lebih besar dari ℵ₀. Pendapat Cantor dalam pernyataannya tentang hipotesis kontinum adalah bahwa kardinalitas bilangan real adalah bilangan tak terbatas berikutnya setelah ℵ₀, yaitu bahwa

c = | ℝ | = ℵ₁

Berarti tidak ada set yang dapat memiliki kardinalitas yang lebih besar dari bilangan alami ℵ₀ dan lebih kecil dari c, dan c adalah kardinalitas bilangan real. ℵ₁ dalam hal ini terletak di luar set nomor kardinal yang dapat dihitung selain dari dirinya sendiri, dan hanya dapat "dihubungi" dengan menambahkan bersama nomor kardinal lainnya dengan kekuatan ℵ₁.

Bukti yang dicoba

Cantor menghabiskan banyak tahun-tahun yang tersisa dalam hidupnya bergulat dengan memberikan bukti bahwa hipotesis kontinum itu benar. Strategi langsungnya adalah menggunakan set turunan P⁽ⁿ⁾ dari set point P untuk mengukur kardinalitasnya. Seperti yang dikatakan Bertrand Russell:

Secara umum, turunan pertama terdiri dari semua titik di lingkungannya yang jumlah tak terhingga dari koleksi dikumpulkan; dan turunan selanjutnya memberikan, seolah-olah, tingkat konsentrasi yang berbeda di lingkungan mana pun. Dengan demikian, mudah untuk melihat mengapa turunannya relevan dengan kontinuitas; untuk menjadi berkelanjutan, koleksi harus terkonsentrasi sebanyak mungkin di setiap lingkungan yang mengandung ketentuan-ketentuan koleksi.

Karena proses pengambilan derivatif tidak serta merta berakhir setelah sejumlah iterasi yang tak terbatas, Cantor melanjutkan proses ke dalam transfinite. Ketika strategi gagal, Cantor beralih ke apa yang disebut "strategi tidak langsung" yang merupakan subjek utama dari Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ("Yayasan Teori Umum Agregat") yang diterbitkan pada tahun 1883. Strategi ini didasarkan pada teorinya tentang kekuatan bilangan kardinal, yaitu pada pengenalan kelas bilangan tak terbatas yang dapat digunakan untuk menghitung ukuran setiap himpunan tak terbatas. Hipotesis kontinum dalam sistem ini akan ditunjukkan dengan menentukan di mana kekuatan kontinum terletak pada "skala" angka-angka tak terbatas - bahwa itu adalah nomor tak terbatas pertama yang tidak dapat dihitung.

Cantor akan menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk menyelesaikan hipotesis kontinum. Ketika suatu hari dia pikir dia telah menemukan bukti kebenarannya, hari berikutnya dia menemukan bukti kepalsuannya: kemudian berikutnya dia menemukan bukti kebenarannya hanya kemudian menyadari bahwa semua bukti itu tidak valid.

Kesehatan mental

Cantor menderita gangguan mental serius pertamanya pada Mei 1884, sepuluh tahun setelah publikasi bukti pertamanya tentang tak terhitungnya angka sebenarnya. Sebagian besar sejarawan percaya kerusakan terjadi sebagai akibat dari perselisihan yang sedang berlangsung Cantor dengan Leopold Kronecker di University of Berlin, ditambah dengan kepraktisan yang jelas dari hipotesis kontinum. Seperti yang dapat kita baca dari surat-surat yang dikirim Cantor ke ahli matematika Swedia Mittag-Leffler, kerusakan pertama Cantor terjadi tepat ketika dia kembali dari perjalanan yang penuh kegembiraan ke Paris tempat dia bertemu, di antara para ahli matematika lainnya, Henri Poincaré. Cantor menulis bahwa ia sangat menyukai Poincaré dan senang mengetahui bahwa pria hebat itu memahami teori himpunan tak terbatas dan penerapannya. Selain itu, ia menulis bahwa ia menghabiskan waktu mengunjungi galeri dan museum, memanjakan cintanya pada opera dan teater. Kerusakan Cantor dilaporkan terjadi tidak lama setelah ia kembali ke Jerman untuk mengurus urusan keluarga.

Kami tidak tahu apa yang menyebabkan gangguan Cantor. Arthur Schoenflies berpendapat bahwa kepahitan Cantor dengan oposisi yang luar biasa terhadap pekerjaannya, diperjuangkan oleh mantan profesornya Leopold Kronecker di Berlin, adalah pendorong utama kesusahannya. Kronecker, lebih dari ahli matematika profesional lainnya pada saat itu, telah menjadi lawan paling vokal dari gagasan Cantor yang akan kembali ke makalah Cantor tahun 1874, yang menurut Cantor takut Kronecker akan menunda publikasi, karena ia telah melakukan salah satu artikel Heine . Karena masalah ini, atas saran Weierstrass, Cantor meninggalkan teorema yang tidak dapat dihitungnya dari draf awal artikel dan hanya kemudian menambahkannya selama proofreading sebagai komentar di akhir pengantar. Selain itu, pengaruh Kronecker dikatakan telah mengarahkan Cantor untuk menggunakan versi Dedekind tentang bukti kemampuan menghitung bilangan real, tetapi dengan sengaja mengabaikan "prinsip kesinambungan" Dedekind, yang tidak diterima Kronecker. Dilaporkan, setiap 52 surat Cantor mengirim Mittag-Leffler pada tahun 1884 dengan menyebut nama Kronecker.

Kronecker tidak setuju secara mendasar dengan dorongan karya Cantor pada teori himpunan karena, di antara alasan lain, ia menyatakan keberadaan himpunan yang memuaskan sifat-sifat tertentu tanpa memberikan contoh himpunan khusus yang anggotanya memenuhi sifat-sifat ini. Kronecker juga hanya mengakui konsep matematika jika mereka dapat dibangun dalam jumlah langkah yang terbatas dari bilangan asli, yang ia ambil untuk diberikan. Kronecker telah menjadi profesor Cantor di Berlin, dan mengepalai departemen matematika di sana sampai kematiannya pada tahun 1891. Setiap kali Cantor melamar sebuah pos di Berlin, ia ditolak, meskipun telah menjadi nama terkenal di kalangan matematika. Gagasan Cantor, bertentangan langsung dengan Kroneckers, akhirnya terkenal membuat Cantor menyebut Cantor sebagai "koruptor muda" yang "harus dihentikan".

Tahun terakhir

Setelah 1884 dirawat di rumah sakit, tidak ada catatan bahwa Cantor dirawat di sanatorium lagi sampai 1899. Tahun itu, putra bungsunya meninggal dan Cantor dilaporkan kehilangan kecintaannya pada matematika. Ketika pada tahun 1903 Julius König mempresentasikan sebuah makalah yang berusaha untuk menyangkal penyewa dasar teori himpunan tak terbatas, Cantor menganggapnya sebagai penghinaan publik yang serius. Meskipun Ernst Zermelo mendemonstrasikan ketidakabsahan kertas kurang dari sehari kemudian, Cantor tetap terguncang dan bahkan sejenak mulai mempertanyakan keberadaan Tuhan (Cantor adalah seorang Kristen yang taat). Peristiwa mendahului serangkaian rawat inap tambahan dengan interval dua hingga tiga tahun.

Melayani pada tahun 1917

Meskipun terus mencari posisi di Universitas Berlin, Cantor tetap di Universitas Halle sampai kematiannya. Dia menghabiskan 20 tahun terakhir hidupnya dalam keadaan depresi kronis, mempertahankan gagasan kontroversialnya tentang teori himpunan dan keabsahan buktinya, terutama terhadap kritik dari ahli matematika lain di Jerman. Cantor pensiun pada tahun 1913, hidup dalam kemiskinan dan menderita kekurangan gizi selama Perang Dunia I. Pada bulan Juni 1917, ia kembali memasuki sanatorium, di mana ia akhirnya meninggal karena serangan jantung pada 6 Januari 1918. Dari penerimaan terakhir hingga kematiannya, ia terus menulis permintaan istrinya untuk pulang.

Surga hilang?

Pada tahun 1900 ahli matematika Jerman David Hilbert mengidentifikasi hipotesis kontinum sebagai salah satu dari 23 masalah paling signifikan untuk membentuk masa depan matematika di abad ke-20. Prediksinya ternyata akurat, karena upaya oleh matematikawan lain untuk membuktikan atau menyangkal dugaan Cantor mengarah pada beberapa karya terdalam dalam teori himpunan sejauh ini.

Baru pada tahun 1940 ahli logika Austro-Hungaria Kurt Gödel mengkonfirmasi konsistensi hipotesis kontinum dengan menunjukkan bahwa itu tidak dapat dibantah dari aksioma lain dari teori himpunan. Dua puluh tiga tahun kemudian, ahli matematika Amerika Paul Cohen membangun kemandiriannya dengan menunjukkan bahwa hipotesis kontinum tidak dapat dibuktikan dari aksioma lain dari teori himpunan. Mereka dengan kata lain menunjukkan bahwa pernyataan c = independent tidak tergantung pada sistem aksioma Zermelo-Fraenkel yang secara umum diterima sebagai fondasi matematika yang paling umum. Konsistensi dan independensi dugaan Cantor berarti bahwa adalah mungkin untuk membangun model teori himpunan yang valid yang memenuhi hipotesis kontinum dan model lain yang tidak. Realisasi keberadaan ini dan pernyataan tidak dapat dibuktikan lainnya mengubah sifat matematika sebagai disiplin yang ketat, logis, mendorong Hilbert pada tahun 1926 untuk menyatakan dalam pembelaan teori himpunan Cantorian:

”Dari surga, Cantor yang diciptakan untuk kita, tidak ada yang bisa mengusir kita” - David Hilbert