Esensi Mekanika Kuantum Bagian 2: Bilangan Kompleks

Identitas Euler

Dalam artikel pertama dalam seri ini kami menguraikan beberapa intuisi fisik dasar dan menjelaskan beberapa cara fisika kuantum menyimpang dari fisika klasik kehidupan sehari-hari. Perbedaan paling penting antara fisika klasik dan kuantum adalah bahwa fisika kuantum cenderung menolak pemahaman intuitif dan oleh karena itu paling baik dipahami dalam hal formalisme matematika abstrak. Sebelum kita dapat melanjutkan untuk membangun formalisme ini, kita perlu membahas beberapa dasar matematika.

Sepotong pertama dari yayasan itu harus terbiasa dengan bilangan kompleks. Sebagian besar formalisme matematika fisika kuantum dinyatakan dalam bilangan kompleks, dan untuk menyatakan bahwa formalisme semata-mata dalam bilangan real akan sangat rumit jika bukan tidak mungkin.

Bidang

Cara terbaik untuk menjelaskan bilangan kompleks adalah dengan memperkenalkannya sebagai perluasan bidang bilangan real. Karena itu langkah pertama kita harus menjelaskan apa itu bidang. Bidang (F, +, ×), atau hanya F, adalah seperangkat objek yang dikombinasikan dengan dua operasi biner + dan ×, yang disebut penambahan dan perkalian (Perhatikan bahwa bidang adalah objek yang sangat umum dan operasi ini mungkin tidak ada hubungannya sama sekali dengan perkalian dan penambahan aritmatika biasa) yang memuaskan aksioma lapangan. Kita sering melewatkan simbol perkalian dan hanya menulis "ab" bukannya a × b. Operasi biner adalah operasi yang memberikan nilai pada sepasang objek. Penambahan adalah contoh operasi biner, menambahkan dua angka bersama untuk menghasilkan yang ketiga. Ini berbeda dengan operasi unary yang hanya membutuhkan satu elemen. Operasi root kuadrat adalah contoh operasi unary.

Aksioma lapangan adalah sebagai berikut:

  • Penutupan: Jika a, b ∈ F, maka a + b ∈ F dan a × b ∈ F. (Simbol ∈ berarti “elemen”).
  • Identitas: Ada elemen 1 dan 0 dalam F (Ini tidak perlu angka 1 dan 0) yang disebut, masing-masing, identitas multiplikatif dan aditif. Mereka memiliki properti yang untuk semua a∈ F, a × 1 = a dan a + 0 = a.
  • Membalik: Untuk setiap a∈ F, ada elemen -a dan 1 / a yang dipanggil, masing-masing, aditif dan multiplikatif invers. Ini memiliki properti yang + (- a) = 0 dan a × (1 / a) = 1. Pengecualian adalah 0, yang tidak memiliki invers multiplikasi.
  • Commutativity: a + b = b + a dan a × b = b × a
  • Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) dan (a × b) × c = a × (b × c)
  • Distribusi: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Orang yang tahu beberapa aljabar linier mungkin melihat kemiripan yang kuat dengan aksioma ruang vektor. Ini bukan kebetulan, bidang sepele ruang vektor atas dirinya sendiri, dengan operasi penambahan vektor menjadi operasi penambahan lapangan dan perkalian skalar menjadi perkalian lapangan.

Bilangan rasional dan bilangan real keduanya merupakan bidang yang sangat penting. Mengingat setiap bidang F, ada beberapa bidang penting yang terkait dengan F. Yang pertama adalah bidang semua polinomial dengan koefisien dari F, kami menyatakan ini dengan F [x] (variabel x adalah arbitrer dan tidak perlu menjadi elemen F) . Bidang penting lainnya adalah ekstensi F.

Polinomial dan ekstensi bidang

Diberikan bidang F, kita dapat menghasilkan ekstensi F dengan menyatukan elemen α yang bukan merupakan elemen F. Kami memanggil bidang ekstensi yang dihasilkan F (α) dan elemen-elemennya adalah + bα untuk semua a, b ∈ F. Kami tentu saja dapat menyatukan elemen ke bidang ekstensi ini sehingga misalnya (F (α)) (β) = F (α, β) yang merupakan bidang yang unsur-unsurnya adalah + bα + cβ untuk semua a, b, c ∈ F Mereka yang mengetahui aljabar linier akan memperhatikan bahwa ekstensi berperilaku persis seperti ruang vektor di atas F dan yang dasarnya {1, α, β}, fakta ini sangat penting dalam teori bidang dan ekstensi mereka. Ketika ada n elemen dalam dasar ekstensi bidang, kita mengatakan bahwa ekstensi bidang terbatas dan memiliki derajat n.

Oke, jadi, mengapa kita perlu repot dengan itu?

Misalkan kita memiliki bidang F dan polinomial p (x) ∈ F [x], yaitu polinomial yang koefisiennya adalah elemen F. Tidak perlu menjadi kasus bahwa akar p (x) juga merupakan elemen dari F. Misalnya, polinomial x²-2 memiliki akar ± √2. Koefisien 1 dan 2 adalah bilangan rasional, jadi polinomial ini adalah elemen dari ℚ [x]. Namun, akarnya bukan bilangan rasional. Oleh karena itu bidang akar x²-2, yaitu bidang terkecil (terkecil dalam arti bahwa tidak ada subbidang yang tepat juga mengandung akar x² + 2) adalah ℚ (√2). Karena kita baru saja melihat bahwa ada polinomial dengan koefisien yang diambil dariℚ tetapi yang akarnya bukan unsur ℚ, kami mengatakan bahwa ℚ tidak tertutup secara aljabar. Tetapi tidak ada ℚ (√2), untuk mempertimbangkan polinomial x²-3√2, yang akarnya ± (√3) √ (√2), yang bukan merupakan elemen dari ℚ (√2) karena √3 bukan elemen. dari ℚ (√2).

Bukti: Misalkan √3 ∈ ℚ (√2) sehingga ada a, b ∈ ℚ sedemikian rupa sehingga √3 = a + b√2. Lalu 3 = a² + 2√2ab + 2b². Karena a², b², dan ab adalah bilangan rasional dan produk serta jumlah bilangan rasional dengan bilangan irasional adalah irasional, a² + 2√2ab + 2b² adalah bilangan irasional. Ini akan menyiratkan bahwa 3 adalah bilangan irasional, yang salah. Oleh karena itu tidak mungkin ada bilangan rasional a dan b sedemikian rupa sehingga √3 = a + b√2 jadi √3 ∉ℚ (√2).

Faktanya, orang dapat menunjukkan, meskipun kami tidak akan melakukannya di sini, bahwa tidak ada ekstensi terbatas ℚ yang ditutup secara aljabar. Kita dapat mencoba bilangan real, perpanjangan tak terbatas dari rasional, tetapi ℝ juga tidak tertutup secara aljabar, untuk mempertimbangkan polinomial x² + 1, yang akarnya ± √ (-1), yang bukan bilangan real karena kuadrat dari bilangan real apa pun harus positif. Untuk menyiasatinya, kami menciptakan angka baru yang disebut i = √ (-1) dan menyatukan angka ini ke ℝ, memperoleh ℝ (i), lebih dikenal sebagai ℂ, himpunan bilangan kompleks. Dengan menggunakan metode analisis kompleks, seseorang dapat membuktikan Teorema Dasar Aljabar, yang menyatakan bahwa setiap polinomial dengan koefisien yang diambil dari ℂ dan berakar pada ℂ.

Tujuan dari bagian ini adalah untuk menunjukkan asal-usul bilangan kompleks: ℂ adalah penutupan aljabar dari bilangan rasional dan nyata. Setiap polinomial dengan koefisien yang diambil dari ℂ, atau tentu saja himpunan bagiannya termasuk ℚ dan ℝ, berakar pada ℂ.

Aljabar kompleks

Jika bagian sebelumnya tampak tidak intuitif atau sulit dipahami, maka Anda akan senang mengetahui bahwa aturan yang benar-benar dipatuhi angka kompleks jauh lebih sederhana, dan mereka berperilaku kurang lebih persis seperti yang Anda harapkan. Biarkan u = a + ib dan v = c + id. Operasi lapangan dasar adalah penambahan dan perkalian standar:

  • Tambahan: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) Bagian nyata dan bagian imajiner ditambahkan secara terpisah.
  • Perkalian: (a + ib) (c + id) = ac-bd + i (ad + bc). Itu persis menggunakan metode FOIL untuk mengalikan polinomial, mengingat bahwa i² = -1

Setiap operasi kesatuan yang dapat kita terapkan pada bilangan real, kita juga dapat memaksakan pada bilangan kompleks. Kita dapat mengambil kekuatan bilangan kompleks, menemukan akar ke-n, dan sebagainya. Tetapi ada juga beberapa operasi baru khusus.

  • Konjugasi kompleks: Diberikan bilangan kompleks z = a + ib, konjugat kompleks z adalah a-ib. Konjugat kompleks z dilambangkan dengan bilah di atas z atau dengan tanda bintang superskrip, Medium tidak mendukung notasi ini.
  • Re {z} dan Im {z}: Ini masing-masing merujuk pada bagian real dan imajiner z. Re {a + ib} = a dan Im {a + ib} = b. Waspadalah terhadap kesalahan umum dengan mengasumsikan bahwa Im {a + ib} = ib.
  • Besarnya z: Juga disebut sebagai modulus atau nilai absolut z. Ini dilambangkan | z | dan diperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari z kali konjugat kompleksnya. | a + ib | = √ ((a + ib) (a-ib)) = √ (a² + b²).

Konjugasi kompleks memungkinkan kita untuk membagi bilangan kompleks. Cukup gandakan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat penyebut yang kompleks:

Kami sekarang akan membuktikan hasil yang terkenal dan sangat penting.

Identitas Euler

Identitas Euler memungkinkan kita untuk mendefinisikan fungsi yang sangat penting yang disebut eksponensial kompleks. Itu ditulis sebagai:

Formula ini secara tradisional dibuktikan dengan seri daya. Perhatikan bahwa:

Selanjutnya, perhatikan bahwa:

Di mana k adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan nol. Sebagai contoh, i²⁹⁷³¹ = -i karena 29731 = 29728 +3 = 4 (7432) +3. Sekarang kita menggunakan ini dan representasi rangkaian kekuatan kita dari fungsi eksponensial, sinus, dan kosinus untuk membuktikan identitas:

Yang melengkapi buktinya.

Penafsiran geometris

Sangat mudah untuk merepresentasikan bilangan kompleks sebagai titik pada apa yang disebut bidang kompleks (kadang-kadang juga disebut bidang Gauss): sistem koordinat dengan bagian nyata pada satu sumbu dan bagian imajiner di sisi lain:

Alur seperti itu disebut diagram Argand, setelah ahli matematika Prancis Jean-Robert Argand.

Ingat bahwa kita mendefinisikan besarnya bilangan kompleks a + ib sebagai √ (a² + b²). Dari teorema Pythagoras, ini adalah panjang sisi miring dari segitiga siku-siku dengan kaki panjang a dan b. Oleh karena itu besarnya bilangan kompleks memberikan jarak dari asal. Biarkan r = | a + ib | = √ (a² + b²).

Dari trigonometri dasar, a = r × cos (θ), b = r × sin (θ), dan θ = arctan (b / a). Karenanya z = a + ib = r × (cos (θ) + i × sin (θ)). Dengan menggunakan identitas Euler, oleh karena itu kami dapat mewakili z dalam apa yang disebut bentuk kutub:

Ketika kita merepresentasikan z dan posisinya dalam bidang kompleks dalam hal bagian nyata dan imajiner dari z, kita mengatakan bahwa kita telah merepresentasikan z dalam bentuk persegi atau Cartesian.

Aplikasi: Memutar vektor

Anda mungkin pernah mendengar bahwa bilangan kompleks dapat dianggap sebagai transformasi yang memutar dan meregangkan vektor dalam bidang. Faktanya, tidak hanya bilangan kompleks dapat dianggap sebagai transformasi yang memutar dan merentangkan vektor dalam bidang, mereka adalah himpunan transformasi tersebut, dalam arti bahwa setiap bilangan kompleks tunggal (kecuali untuk 0) mewakili transformasi dari ini Tipe.

Misalkan kita diberi posisi vektor (2, 3) dan kita diminta untuk menemukan nilai-nilai koordinat setelah kita memutar vektor dengan 47,5 derajat berlawanan arah jarum jam, skala panjang vektor dengan faktor 0,7, putar oleh 25 derajat Searah jarum jam, dan kemudian skala vektor dengan faktor 1,5. Cara paling langsung untuk melakukan ini adalah dengan urutan matriks transformasi:

Kami menemukan bahwa koordinat baru adalah sekitar (0,735, 3,714).

Penggandaan matriks sangat membosankan, jadi kita mungkin cenderung bertanya apakah mungkin ada cara yang lebih rapi untuk melakukan ini. Untungnya, kita bisa melakukan ini lebih mudah dengan bilangan kompleks. Mulailah dengan merepresentasikan vektor (2,3) sebagai bilangan kompleks 2 + 3i. Dalam bentuk kutub, ini adalah √ (13) × exp {i × 56,31}. Matriks transformasi pertama diwakili oleh 0,7 × exp {i × 47,5 °} dan yang kedua oleh 1,5 × exp {-i × 25 °}, tanda negatif adalah karena rotasi searah jarum jam. Untuk menemukan representasi bilangan kompleks dari vektor baru, cukup gandakan ini bersama-sama:

Dan bilangan kompleks ini mewakili vektor posisi (0.735, 3.714), jadi kami telah mendapatkan jawaban yang sama dengan pekerjaan yang jauh lebih sedikit.

Buktinya memerlukan teori kelompok, yang akan dibahas dalam artikel mendatang. Jumlah bukti menunjukkan bahwa kelompok bilangan kompleks tanpa 0 di bawah perkalian adalah isomorfik untuk kelompok matriks yang bertindak untuk skala dan memutar vektor dua dimensi di bawah perkalian matriks. Ketika dua kelompok (atau struktur aljabar) isomorfis, kami dapat mewakili elemen dari salah satu struktur dengan objek unik di yang lain.

Dalam tiga dimensi, segalanya menjadi lebih buruk jika kita mencoba melakukan operasi ini menggunakan perkalian matriks saja. Tetapi sama seperti kita dapat menggunakan bilangan kompleks untuk melakukan rotasi dua dimensi dengan lebih mudah, kita dapat memperluas bilangan kompleks ke sistem baru yang disebut angka empat dan menggunakan aljabar angka empat untuk secara efisien melakukan rotasi tersebut. Quaternion adalah subjek yang sangat menarik dan saya pasti akan menulis tentang mereka di beberapa titik di masa depan, tetapi kami di sini untuk mekanika kuantum jadi sayangnya mereka harus menunggu satu hari lagi.

Kesimpulan

Ini membutuhkan banyak waktu, jauh lebih lama daripada yang saya rencanakan semula. Maafkan saya. Untungnya jadwal saya akan jauh lebih gratis untuk beberapa bulan ke depan sehingga saya akan dapat lebih fokus pada seri ini.

Artikel ini hanya memberikan pengantar yang sangat singkat untuk bilangan kompleks, sejauh yang diperlukan untuk artikel berikut. Setiap teori lebih lanjut (fungsi analitik, phasors, dll) akan dikembangkan ketika / jika diperlukan. Seluruh buku teks telah ditulis tentang struktur aljabar bilangan kompleks, teori fungsi bernilai kompleks, dan penerapan bilangan kompleks pada fisika dan teknik. Untuk bacaan lebih lanjut, buku teks fisika umum Fisika untuk Ilmuwan dan Insinyur oleh Douglas Giancoli berisi beberapa diskusi besar tentang subjek dan mengintegrasikan matematika kompleks dengan sangat baik ke dalam pedagogi fisika (edisi ketiga dapat diperoleh dengan harga yang sangat wajar hari ini). Bagi mereka yang mencari perawatan yang dapat diakses dari beberapa ide yang lebih formal yang telah saya sebutkan di artikel ini, Buku Aljabar Abstrak oleh Pinter akan menjadi tempat yang bagus untuk memulai dan memiliki beberapa prasyarat di luar matematika sekolah menengah, juga sangat cukup harga. (Pengungkapan: Saya tidak menerima kompensasi dari, dan tidak memiliki hubungan apa pun dengan, para penulis atau penerbit salah satu dari buku teks ini).

Maka dengan itu selesai, kita sekarang siap untuk beralih ke prasyarat matematika berikutnya: aljabar linier, teori vektor dan ruang vektor.