QC - Kontrol komputasi kuantum dengan operator kesatuan, interferensi & keterikatan

Foto oleh Sagar Dani

Bagus. Kami baru saja menyelesaikan Bagian 2 pada Qubit (bit Quantum - blok bangunan inti untuk komputasi kuantum). Jadi bagaimana kita bisa mengendalikannya? Tidak seperti komputasi klasik, kami tidak menerapkan operasi logis atau aritmatika umum pada qubit. Tidak ada "pernyataan sementara" atau "pernyataan percabangan" dalam komputasi kuantum. Sebagai gantinya, kami mengembangkan operator kesatuan untuk memanipulasi qubit dengan prinsip interferensi dalam mekanika kuantum. Kedengarannya mewah tetapi sebenarnya sangat mudah. Kami akan melihat konsep operator kesatuan. Sebagai catatan tambahan, kita akan melihat hubungannya dengan Persamaan Schrodinger sehingga kita tidak merancang konsep yang bertentangan dengan alam. Akhirnya, kita melihat keterjeratan, sebuah fenomena kuantum mistis.

Gerbang kuantum

Dalam komputer klasik, kami menerapkan operator logika dasar (BUKAN, NAND, XOR, DAN, ATAU) pada bit untuk membangun operasi yang kompleks. Sebagai contoh, berikut ini adalah penambah bit tunggal dengan carry.

Komputer kuantum memiliki operator dasar yang sama sekali berbeda yang disebut gerbang kuantum. Kami tidak mengkompilasi ulang program C ++ yang ada untuk dijalankan pada komputer kuantum. Keduanya memiliki operator yang berbeda dan komputasi kuantum membutuhkan algoritma yang berbeda untuk memanfaatkannya. Dalam komputasi kuantum, itu semua tentang memanipulasi qubit, melibatkan mereka dan mengukurnya. Mari kita kembali ke lingkup Bloch. Secara konseptual, operasi komputasi kuantum memanipulasi Φ dan θ dari superposisi untuk memindahkan titik di sepanjang permukaan unit sphere.

Secara matematis, superposisi dimanipulasi dengan operator linear U dalam bentuk matriks.

Untuk qubit tunggal, operator hanyalah sebuah matriks 2 × 2.

Persamaan Schrodinger (opsional)

Alam tampak sederhana secara naif! Matematika itu hanya aljabar linear yang kita pelajari di sekolah menengah. Antara pengukuran, keadaan dimanipulasi oleh operator linear menggunakan perkalian matriks. Ketika diukur, superposisi runtuh. Ironisnya, linearitas adalah kekecewaan besar bagi para penggemar sci-fi. Ini adalah properti umum dari dinamika kuantum. Kalau tidak, perjalanan waktu atau perjalanan lebih cepat dari cahaya adalah mungkin. Jika kita mulai dengan operator linear ini (operator kesatuan tepatnya), kita dapat menurunkan persamaan Schrodinger, landasan mekanika kuantum dalam menggambarkan bagaimana keadaan berevolusi dalam mekanika kuantum. Dari perspektif yang berlawanan, persamaan Schrodinger menyimpulkan linearitas alam.

Sumber

Di sini, kita dapat menulis ulang persamaan Schrodinger sebagai

di mana H adalah seorang Hermitian. Ini menunjukkan bagaimana keadaan berevolusi di alam secara linear.

Persamaannya linear, yaitu jika ψ1 dan ψ2 adalah solusi yang valid untuk Persamaan Schrodinger,

kombinasi linearnya adalah solusi umum persamaan.

Jika | 0⟩ dan | 1⟩ adalah keadaan yang memungkinkan dari suatu sistem, kombinasi liniernya akan menjadi keadaan umumnya - itulah prinsip superposisi dalam komputasi kuantum.

Kesatuan

Dunia fisik kita tidak memungkinkan semua operator linier. Operator harus bersatu dan memenuhi persyaratan berikut.

di mana U † adalah konjugasi kompleks dari U. Sebagai contoh:

Secara matematis, operator kesatuan mempertahankan norma. Ini adalah properti yang luar biasa untuk menjaga probabilitas total sama dengan satu setelah transformasi negara dan mempertahankan superposisi pada permukaan unit sphere.

Jika kita melihat solusi untuk Persamaan Schrodinger di bawah ini, alam menaati aturan kesatuan yang sama. H adalah Hermitian (konjugat kompleks dari Hermitian yang dirubah sama dengan dirinya sendiri). Mengalikan operator dengan konjugat komposisinya yang berubah sama dengan matriks identitas.

Berikut ini adalah contoh H di mana ada medan magnet seragam E₀ dalam arah z.

Menerapkan operasi kesatuan ke | ψ⟩ menghasilkan rotasi pada sumbu z.

Tapi apa arti nyata dari kesatuan di dunia nyata? Ini berarti operasi dapat dibalik. Untuk kemungkinan operasi apa pun, ada operasi lain yang dapat membatalkan tindakan. Sama seperti menonton film, Anda dapat memutarnya dan sifatnya memungkinkan lawannya U † untuk memutar video ke belakang. Memang, Anda mungkin tidak melihat apakah Anda memutar video ke depan atau ke belakang. Hampir semua hukum fisika bersifat reversibel waktu. Beberapa pengecualian termasuk pengukuran dalam dinamika kuantum dan hukum termodinamika kedua. Saat merancang algoritma kuantum, ini sangat penting. Operasi ATAU eksklusif (XOR) di komputer klasik tidak dapat dibalik. Informasi hilang. Diberikan keluaran 1, kami tidak dapat membedakan apakah input asli adalah (0, 1) atau (1, 0).

Dalam komputasi kuantum, kami menyebut operator sebagai gerbang kuantum. Ketika kami merancang gerbang kuantum, kami memastikan itu adalah kesatuan, yaitu akan ada gerbang kuantum lain yang dapat membalikkan keadaan kembali ke aslinya. Ini penting sejak itu

jika operator bersifat kesatuan, itu dapat diimplementasikan dalam komputer kuantum.

Setelah unitary terbukti, para insinyur seharusnya tidak memiliki masalah untuk mengimplementasikannya, setidaknya secara teoritis. Sebagai contoh, komputer IBM Q, terdiri dari sirkuit superkonduktor, menggunakan pulsa gelombang mikro dengan frekuensi berbeda, dan durasi untuk mengontrol qubit di sepanjang permukaan bola Bloch.

Untuk mencapai kesatuan, kami terkadang mengeluarkan bagian dari input untuk memenuhi persyaratan ini, seperti yang di bawah ini bahkan terlihat berlebihan.

Mari kita lihat salah satu gerbang kuantum yang paling umum, gerbang Hadamard yang didefinisikan oleh operator linear sebagai matriks berikut.

atau dalam notasi Dirac

Saat kami menerapkan operator ke putaran atas atau putaran bawah, kami mengubah superposisi ke:

Jika diukur, keduanya memiliki peluang yang sama untuk berputar atau turun. Jika kita menerapkan gerbang lagi, itu akan kembali ke keadaan semula.

Sumber

mis., konjugat Hadamard yang dialihkan adalah gerbang Hadamard itu sendiri.

Ketika kami menerapkan U U †, itu mengembalikan ke input asli.

Karena itu, gerbang Hadamard adalah kesatuan.

Komputasi kuantum didasarkan pada gangguan dan keterjeratan. Meskipun kita dapat memahami komputasi kuantum secara matematis tanpa memahami fenomena ini, mari kita tunjukkan dengan cepat.

Gangguan

Gelombang mengganggu satu sama lain secara konstruktif atau destruktif. Sebagai contoh, output dapat diperbesar atau diratakan tergantung pada fase relatif dari gelombang input.

Apa peran gangguan dalam komputasi kuantum? Mari kita lakukan beberapa percobaan.

Mach Zehnder Interferometer (sumber)

Dalam percobaan pertama, kami menyiapkan semua foton yang masuk untuk memiliki status polarisasi | 0⟩. Aliran foton terpolarisasi ini dibagi secara merata oleh posisi B beam splitter pada 45 °, yaitu akan membagi balok menjadi dua lampu terpolarisasi ortogonal dan keluar di jalur yang terpisah. Kemudian kami menggunakan cermin untuk memantulkan foton ke dua detektor terpisah dan mengukur intensitas. Dari perspektif mekanika klasik, foton terbelah menjadi dua jalur terpisah dan mengenai detektor secara merata.

Dalam percobaan kedua di atas, kami menempatkan pembagi balok lain sebelum detektor. Dengan intuisi, pemisah berkas beroperasi secara independen satu sama lain dan membagi aliran cahaya menjadi dua setengah. Kedua detektor harus mendeteksi setengah dari sinar lampu. Probabilitas foton mencapai detektor D₀ menggunakan 1-jalur berwarna merah adalah:

Peluang total untuk foton mencapai D₀ adalah 1/2 dari 1-jalur atau 0-jalur. Jadi kedua detektor mendeteksi setengah foton.

Tetapi itu tidak cocok dengan hasil eksperimen! Hanya D₀ yang mendeteksi cahaya. Mari kita memodelkan transisi status untuk pembagi berkas dengan gerbang Hadamard. Jadi untuk percobaan pertama, keadaan foton setelah pembagi itu

Ketika diukur, setengah dari mereka akan | 0⟩ dan setengah dari mereka akan | 1⟩. Sinar cahaya terbagi rata menjadi dua jalur yang berbeda. Jadi gerbang Hadamard kami akan cocok dengan perhitungan klasik. Tetapi mari kita lihat apa yang terjadi dalam percobaan kedua. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya, jika kita menyiapkan semua foton input menjadi | 0⟩ dan meneruskannya menjadi dua gerbang Hadamard, semua foton akan menjadi | 0⟩ lagi. Jadi ketika diukur, hanya D₀ yang akan mendeteksi berkas cahaya. Tidak ada yang akan mencapai D₁ selama kami tidak melakukan pengukuran sebelum kedua detektor. Eksperimen mengkonfirmasi perhitungan kuantum benar, bukan perhitungan klasik. Mari kita lihat bagaimana interferensi berperan di sini di gerbang Hadamard kedua.

Seperti yang ditunjukkan di bawah ini, komponen-komponen dengan dasar komputasi yang sama secara konstruktif atau destruktif saling mengganggu untuk menghasilkan hasil eksperimen yang benar.

Kita dapat menyiapkan sinar foton input menjadi | 1⟩ dan mengulang perhitungan lagi. Keadaan setelah splitter pertama berbeda dari yang asli dengan fase π. Jadi jika kita mengukur sekarang, kedua percobaan akan melakukan pengukuran yang sama.

Namun, ketika menerapkan gerbang Hadamard lagi, satu akan menghasilkan | 0⟩ dan satu akan menghasilkan | 1⟩. Gangguan menghasilkan kemungkinan yang kompleks.

Biarkan saya melakukan satu percobaan lagi yang menyenangkan yang memiliki implikasi yang sangat signifikan dalam keamanan siber.

Jika kita meletakkan detektor Dx lain setelah pembagi pertama, percobaan menunjukkan kedua detektor akan mendeteksi setengah dari foton sekarang. Apakah itu cocok dengan perhitungan dalam mekanika kuantum? Dalam persamaan di bawah ini, ketika kami menambahkan pengukuran setelah pembagi pertama, kami memaksakan kehancuran pada superposisi. Hasil akhir akan berbeda dari satu tanpa detektor tambahan dan cocok dengan hasil eksperimen.

Alam memberi tahu kita bahwa jika Anda tahu jalan apa yang diambil foton, kedua detektor akan mendeteksi setengah dari foton. Bahkan, kita bisa mencapainya hanya dengan satu detektor di salah satu jalur saja. Jika tidak ada pengukuran yang dilakukan sebelum kedua detektor, semua foton berakhir di detektor D₀ jika foton disiapkan menjadi | 0⟩. Sekali lagi, intuisi membawa kita pada kesimpulan yang salah sementara persamaan kuantum tetap dipercaya.

Fenomena ini memiliki satu implikasi kritis. Pengukuran tambahan menghancurkan interferensi asli dalam contoh kami. Keadaan sistem diubah setelah pengukuran. Ini adalah salah satu motivasi utama di balik kriptografi kuantum. Anda dapat merancang algoritme sehingga jika seorang hacker menyadap (mengukur) pesan antara Anda dan pengirim, Anda dapat mendeteksi intrusi semacam itu terlepas dari seberapa lembut pengukuran itu. Karena pola pengukurannya akan berbeda jika disadap. Teorema tanpa kloning dalam mekanika kuantum mengklaim bahwa seseorang tidak dapat menduplikasi keadaan kuantum dengan tepat. Jadi peretas tidak dapat menggandakan dan mengirim ulang pesan aslinya juga.

Di luar simulasi kuantum

Jika Anda seorang Fisikawan, Anda dapat memanfaatkan perilaku gangguan di gerbang kuantum untuk mensimulasikan gangguan yang sama di dunia atom. Metode klasik bekerja dengan teori probabilitas dengan nilai lebih besar atau sama dengan nol. Ini mengasumsikan independensi yang tidak benar dalam eksperimen.

Mekanisme kuantum mengklaim model ini salah dan memperkenalkan model dengan bilangan kompleks dan negatif. Alih-alih menggunakan teori probabilitas, ia menggunakan interferensi untuk memodelkan masalah.

Jadi apa untungnya bagi non-fisikawan? Gangguan dapat diperlakukan sebagai mekanisme yang sama dengan operator kesatuan. Ini dapat diimplementasikan dengan mudah di komputer kuantum. Secara matematis, operator kesatuan adalah sebuah matriks. Dengan meningkatnya jumlah qubit, kami mendapatkan pertumbuhan koefisien eksponensial yang dapat kami mainkan. Operator kesatuan ini (gangguan di mata Physicist) memungkinkan kita untuk memanipulasi semua koefisien ini dalam satu operasi tunggal yang membuka pintu bagi manipulasi data besar-besaran.

Belitan

Secara umum, para ilmuwan percaya bahwa tanpa keterjeratan, algoritma kuantum tidak dapat menunjukkan keunggulan atas algoritma klasik. Sayangnya, kami tidak memahami alasannya dengan baik dan oleh karena itu, kami tidak tahu bagaimana menyesuaikan algoritma untuk memanfaatkan potensi penuhnya. Inilah sebabnya mengapa keterjeratan sering disebutkan ketika memperkenalkan komputasi kuantum tetapi tidak banyak sesudahnya. Untuk alasan ini, kami akan menjelaskan keterjeratan dalam bagian ini. Semoga Anda adalah ilmuwan yang membuka rahasia.

Pertimbangkan superposisi dari 2-qubit.

di mana | 10> berarti dua partikel masing-masing dalam putaran ke bawah dan putaran ke atas.

Pertimbangkan keadaan komposit berikut:

Bisakah kita membagi negara komposit kembali menjadi dua negara individu seperti,

Kami tidak bisa karena itu membutuhkan:

Mekanika kuantum menunjukkan satu konsep non-intuitif. Dalam mekanika klasik, kami percaya memahami seluruh sistem dapat dilakukan dengan memahami setiap sub-komponen dengan baik. Namun dalam mekanika kuantum,

Seperti yang ditunjukkan sebelumnya, kita dapat memodelkan keadaan komposit dan membuat prediksi pengukuran dengan sempurna.

Tetapi, kita tidak dapat menggambarkan atau memahaminya sebagai dua komponen independen.

Saya membayangkan skenario ini sebagai pasangan menikah selama 50 tahun. Mereka akan selalu menyetujui apa yang harus dilakukan tetapi Anda tidak dapat menemukan jawaban ketika memperlakukan mereka sebagai orang yang terpisah. Ini adalah skenario yang terlalu disederhanakan. Ada banyak kemungkinan keadaan keterikatan

dan akan jauh lebih sulit untuk menggambarkannya ketika jumlah qubit meningkat. Saat melakukan operasi kuantum, kita tahu bagaimana komponen berkorelasi (terjerat). Tetapi sebelum pengukuran apa pun, nilai pastinya tetap terbuka. Keterikatan menghasilkan korelasi yang jauh lebih kaya dan kemungkinan jauh lebih sulit untuk ditiru oleh algoritma klasik secara efisien.

Lanjut

Sekarang, kita tahu bagaimana memanipulasi qubit dengan operasi kesatuan. Tetapi bagi mereka yang tertarik pada algoritma kuantum, kita harus tahu apa batasannya terlebih dahulu. Kalau tidak, Anda mungkin mengabaikan hal-hal apa yang sulit dalam komputasi kuantum. Tetapi bagi mereka yang ingin tahu lebih banyak tentang gerbang kuantum terlebih dahulu, Anda dapat membaca artikel kedua sebelum yang pertama.