Apakah Beberapa Infinitas Lebih Besar Daripada Yang Lain?

Bukti Matematika Paling Indah, vol. 1, Maxime Coutte.

Sebagai catatan saya bukan seorang matematikawan, tetapi seorang siswa sekolah menengah - yang belum bersekolah selama satu tahun penuh - dan kebanyakan penggemar dan programmer Ilmu Komputer. Yang mengatakan, saya belajar Matematika sendiri dan ingin berbagi keindahan dari beberapa bukti Matematika favorit saya dalam seri ini.

Tahukah Anda Cara Menghitung?

Ketika bertanya-tanya apakah beberapa ketidakterbatasan bisa lebih besar dari yang lain, penting untuk mengetahui apa yang menjadi "lebih besar" artinya, dan itu melibatkan penentuan kemampuan menghitung. Kita bisa merasakan hal ini dari pengalaman kehidupan nyata: ketika Anda menghitung apel, Anda menghubungkan satu nomor dengan masing-masing, dimulai dengan 1 dan bertambah 1 setiap kali hingga tidak ada lagi apel yang dihitung.

Dengan kata lain, Anda memasangkan setiap apel, atau elemen apa pun dari satu set (atau keranjang), dengan bilangan bulat positif yang unik. Oleh karena itu kita dapat mendefinisikan himpunan yang dapat dihitung sebagai himpunan yang kita dapat memasangkan setiap elemen ke satu elemen unik N, himpunan bilangan asli {0, 1, 2,. . .}.

Perlu dicatat bahwa kita dapat memasangkan setiap elemen N, set angka alami, dengan masing-masing elemen itu sendiri. Oleh karena itu N adalah himpunan tak terbatas yang tak terhitung jumlahnya; kita dapat menghitung setiap jumlah dari daftar bilangan alami yang tak terbatas, jika kita memiliki jumlah waktu yang tak terbatas ...

Apakah Ada Lebih Banyak Bilangan Bulat Daripada Angka Alami?

Apakah Z, himpunan semua bilangan bulat {..., -2, −1,0,1,2, ...}, lebih besar dari N, himpunan bilangan asli {0, 1, 2,. . .}? Sepertinya pertanyaan aneh, bukan? Saya masih dapat mengingat kegembiraan dan kegembiraan yang dibagikan oleh sahabat saya dan saya di sekolah menengah ketika kami secara mengejutkan saling membuktikan bahwa Z sebenarnya berukuran sama dengan N. Di sini, istilah yang tepat sebenarnya bukan "ukuran" tetapi " kardinalitas ”, yang berarti jumlah elemen dalam satu set.

Buktinya sebenarnya cukup sederhana, kita dapat memasangkan setiap angka negatif dari himpunan Z dengan angka ganjil alami yang unik dan memasangkan setiap angka positif dari himpunan Z ke angka genap yang unik. Karena itu kita dapat menghitung Z dengan N.

Meskipun kita mungkin berpikir bahwa ada bilangan bulat lebih positif dan negatif daripada hanya ada bilangan bulat positif kita dapat memasangkan setiap elemen Z dengan elemen unik N.

Beberapa Hal yang Tidak Dapat Anda Hitung Bahkan Dengan Jumlah Waktu Tak Terbatas,

Di sini kita akan membuktikan bahwa set R dari semua bilangan real tidak terhitung dan kita akan melakukan ini menggunakan argumen diagonal Cantor.

Pertama, kita mengira bahwa kita dapat membuat daftar semua bilangan real antara 0 dan 1,

Sebagai contoh, kita dapat mengira,

Sekarang perhatikan angka d,

d, dibuat dari diagonal daftar kami. Digit pertama dari d adalah digit pertama dari nomor pertama dari daftar, digit kedua dari d adalah digit kedua dari jumlah kedua dari daftar, dan seterusnya menambahkan digit secara diagonal untuk seluruh daftar.

Jadi, untuk saya apa pun,

Misalnya, mengingat daftar ini,

Sekarang kita membangun angka x,

sehingga digit ke-i dari x berbeda dari digit ke-ke-d dari dan tidak sama dengan digit ke-9, jadi

Sebagai contoh untuk d = 0,16392 ... kita dapat membangun x = 0,27413 ... dan melanjutkan untuk setiap digit d karena bahkan jika xi ≠ di masih ada 8 kemungkinan digit di dapat sama dengan.

Kita sekarang dapat membuktikan bahwa x tidak ada dalam daftar semua bilangan real antara 0 dan 1.

Dengan konstruksi, digit pertama x berbeda dari digit pertama dari d, dan digit pertama dari d adalah digit pertama dari nomor pertama dari daftar. Jadi x tidak bisa menjadi angka pertama dari daftar karena memiliki digit pertama yang berbeda.

Dengan konstruksi, digit kedua dari x berbeda dari digit kedua dari d, dan digit kedua dari d adalah digit kedua dari nomor kedua dari daftar. Jadi x tidak bisa menjadi angka kedua dari daftar karena memiliki digit kedua yang berbeda. Ini berlaku untuk semua angka dalam daftar.

Dengan kata lain,

yang oleh konstruksi tidak mungkin benar karena,

Kami telah menunjukkan bahwa jika Anda membuat daftar semua bilangan real antara 0 dan 1, x akan selalu hilang. Kontradiksi ini membuktikan bahwa himpunan semua bilangan real antara 0 dan 1 tidak terhitung, dan oleh karena itu R, himpunan semua bilangan real, juga tidak terhitung. Anda tidak dapat memasangkan setiap bilangan real ke bilangan alami yang unik.

Ini berarti bahwa kardinalitas R lebih besar dari kardinalitas N, oleh karena itu beberapa infinitas lebih besar daripada yang lain.

Referensi, Georg Cantor. "Elemen utama dari Frage der Mannigfaltigkeitslehre". 1891.

Saya Maxime Coutte, Co-Founder of Relativty.com, headset VR yang saya desain dari awal, yang mana saya buka-bersumber kode dan perangkat keras. Saya suka belajar dan saya tertarik dengan beragam subjek.
Anda dapat saya ikuti saya di Twitter @maximecoutte.